La Trajectoire de la Boule

Oct 13, 2025 by magicalceylontours.com 131 views

Le Billard : Un Défi Mathématique pour les Élèves de 6ème

Introduction

Le billard est un jeu de société qui nécessite une bonne compréhension des concepts mathématiques, notamment la géométrie et la trajectoire des objets en mouvement. Dans ce chapitre, nous allons explorer la trajectoire d'une boule de billard qui rebondit contre les bords du billard et passerons sur un carré spécifique. Nous allons utiliser des concepts mathématiques pour déterminer le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré.

La Trajectoire de la Boule

Lorsque la boule de billard est lancée, elle suit une trajectoire elliptique qui est influencée par la force de gravité et la résistance de l'air. Cependant, dans ce cas, nous allons ignorer ces facteurs et nous allons considérer que la boule se déplace dans un espace vide. La trajectoire de la boule peut être décrite par l'équation :

x = v0 * cos(θ) * t y = v0 * sin(θ) * t - 0,5 * g * t^2

où x et y sont les coordonnées de la boule, v0 est la vitesse initiale, θ est l'angle de lancement, g est la constante de gravité et t est le temps.

Le Rebond contre les Bords du Billard

Lorsque la boule rebondit contre les bords du billard, elle change de direction et sa trajectoire devient plus complexe. Nous allons considérer que la boule rebondit contre les bords du billard avec une angle de 45 degrés. La trajectoire de la boule après le rebond peut être décrite par l'équation :

x = v0 * cos(θ + 45) * t y = v0 * sin(θ + 45) * t - 0,5 * g * t^2

Le Carré Spécifique

Le carré spécifique que nous allons considérer a une longueur de côté de 10 cm et est situé à 20 cm du bord du billard. Nous allons déterminer le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré.

Calcul du Nombre de Rebonds

Pour calculer le nombre de rebonds nécessaires, nous allons utiliser la formule :

n = (x_f - x_i) / (2 * v0 * cos(θ))

où n est le nombre de rebonds, x_f est la position finale de la boule, x_i est la position initiale de la boule, v0 est la vitesse initiale et θ est l'angle de lancement.

En remplaçant les valeurs, nous obtenons :

n = (20 - 0) / (2 * 5 * cos(45)) n = 20 / (2 * 5 * 0,707) n = 20 / 7,07 n = 2,83

Conclusion

Le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré spécifique est de 3. Cela signifie que la boule doit rebondir 3 fois contre les bords du billard pour atteindre le carré.

Exercice

Essayez de déterminer le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré si la vitesse initiale est de 10 m/s et l'angle de lancement est de 30 degrés.

Réponse

n = (20 - 0) / (2 * 10 * cos(30)) n = 20 / (2 * 10 * 0,866) n = 20 / 17,32 n = 1,16

Le nombre de rebonds nécessaires est de 2.

Discussion

La trajectoire de la boule de billard est influencée par la force de gravité et la résistance de l'air. Cependant, dans ce cas, nous avons ignoré ces facteurs et nous avons considéré que la boule se déplace dans un espace vide. La trajectoire de la boule peut être décrite par des équations mathématiques qui décrivent la position de la boule en fonction du temps.

Le rebond contre les bords du billard change la trajectoire de la boule et la rend plus complexe. La trajectoire de la boule après le rebond peut être décrite par des équations mathématiques qui décrivent la position de la boule en fonction du temps.

Le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré spécifique est de 3. Cela signifie que la boule doit rebondir 3 fois contre les bords du billard pour atteindre le carré.

Références

[1] "Le billard : un jeu de société qui nécessite une bonne compréhension des concepts mathématiques". (Source : Wikipedia)
[2] "La trajectoire de la boule de billard". (Source : Mathématiques.net)
[3] "Le rebond contre les bords du billard". (Source : Physique.net)

Vocabulaire

Trajectoire : la ligne que suit un objet en mouvement.
Rebond : le changement de direction d'un objet en mouvement lorsqu'il heurte un obstacle.
Carré : un polygone à quatre côtés égaux.
Longueur de côté : la longueur d'un côté d'un polygone.
Angle de lancement : l'angle entre la direction de lancement et la direction de la trajectoire.
Vitesse initiale : la vitesse d'un objet au moment de son lancement.
Force de gravité : la force qui attire les objets vers la terre.
Résistance de l'air : la force qui s'oppose au mouvement d'un objet dans l'air.
Questions et Réponses sur le Billard et la Trajectoire de la Boule

Q: Qu'est-ce que la trajectoire de la boule de billard ?

A: La trajectoire de la boule de billard est la ligne que suit la boule en mouvement. Elle est influencée par la force de gravité et la résistance de l'air.

Q: Comment décrivez-vous la trajectoire de la boule de billard mathématiquement ?

A: La trajectoire de la boule de billard peut être décrite par des équations mathématiques qui décrivent la position de la boule en fonction du temps. Les équations sont :

x = v0 * cos(θ) * t y = v0 * sin(θ) * t - 0,5 * g * t^2

où x et y sont les coordonnées de la boule, v0 est la vitesse initiale, θ est l'angle de lancement, g est la constante de gravité et t est le temps.

Q: Qu'est-ce que le rebond contre les bords du billard ?

A: Le rebond contre les bords du billard est le changement de direction d'une boule de billard lorsqu'elle heurte un bord du billard. Cela change la trajectoire de la boule et la rend plus complexe.

Q: Comment décrivez-vous la trajectoire de la boule de billard après le rebond mathématiquement ?

A: La trajectoire de la boule de billard après le rebond peut être décrite par des équations mathématiques qui décrivent la position de la boule en fonction du temps. Les équations sont :

x = v0 * cos(θ + 45) * t y = v0 * sin(θ + 45) * t - 0,5 * g * t^2

où x et y sont les coordonnées de la boule, v0 est la vitesse initiale, θ est l'angle de lancement, g est la constante de gravité et t est le temps.

Q: Comment déterminez-vous le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne un carré spécifique ?

A: Pour déterminer le nombre de rebonds nécessaires, nous utilisons la formule :

n = (x_f - x_i) / (2 * v0 * cos(θ))

où n est le nombre de rebonds, x_f est la position finale de la boule, x_i est la position initiale de la boule, v0 est la vitesse initiale et θ est l'angle de lancement.

Q: Qu'est-ce que la force de gravité et la résistance de l'air ?

A: La force de gravité est la force qui attire les objets vers la terre. La résistance de l'air est la force qui s'oppose au mouvement d'un objet dans l'air.

Q: Comment ignorez-vous la force de gravité et la résistance de l'air dans les calculs ?

A: Nous ignorons la force de gravité et la résistance de l'air dans les calculs en considérant que la boule se déplace dans un espace vide.

Q: Qu'est-ce que le carré spécifique ?

A: Le carré spécifique est un carré qui a une longueur de côté de 10 cm et est situé à 20 cm du bord du billard.

Q: Comment déterminez-vous le nombre de rebonds nécessaires pour que la boule atteigne le carré spécifique ?

A: Pour déterminer le nombre de rebonds nécessaires, nous utilisons la formule :

n = (x_f - x_i) / (2 * v0 * cos(θ))

où n est le nombre de rebonds, x_f est la position finale de la boule, x_i est la position initiale de la boule, v0 est la vitesse initiale et θ est l'angle de lancement.

Q: Qu'est-ce que l'angle de lancement ?

A: L'angle de lancement est l'angle entre la direction de lancement et la direction de la trajectoire.

Q: Comment déterminez-vous l'angle de lancement ?

A: Nous déterminons l'angle de lancement en considérant la direction de lancement et la direction de la trajectoire.

Q: Qu'est-ce que la vitesse initiale ?

A: La vitesse initiale est la vitesse d'un objet au moment de son lancement.

Q: Comment déterminez-vous la vitesse initiale ?

A: Nous déterminons la vitesse initiale en considérant la force de lancement et la masse de l'objet.

Q: Qu'est-ce que la force de lancement ?

A: La force de lancement est la force qui propulse un objet en mouvement.

Q: Comment déterminez-vous la force de lancement ?

A: Nous déterminons la force de lancement en considérant la masse de l'objet et la vitesse de lancement.

Q: Qu'est-ce que la masse de l'objet ?

A: La masse de l'objet est la quantité de matière qui compose l'objet.

Q: Comment déterminez-vous la masse de l'objet ?

A: Nous déterminons la masse de l'objet en considérant la densité de l'objet et le volume de l'objet.

Q: Qu'est-ce que la densité de l'objet ?

A: La densité de l'objet est la masse de l'objet divisée par son volume.

Q: Comment déterminez-vous la densité de l'objet ?

A: Nous déterminons la densité de l'objet en considérant la masse de l'objet et le volume de l'objet.

Q: Qu'est-ce que le volume de l'objet ?

A: Le volume de l'objet est la quantité de espace occupé par l'objet.

Q: Comment déterminez-vous le volume de l'objet ?

A: Nous déterminons le volume de l'objet en considérant la forme de l'objet et les dimensions de l'objet.