Die gegebene Matrix und die quadratische Form

Oct 13, 2025 by magicalceylontours.com 111 views

Einleitung

In der linearen Algebra ist die Beziehung zwischen quadratischen Formen und ihren zugehörigen Matrizen ein wichtiger Gegenstand. Eine quadratische Form ist eine Funktion, die eine quadratische Gleichung darstellt, während eine Matrix eine Sammlung von Zahlen ist, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind. In dieser Frage werden wir gegeben, eine Matrix A und eine quadratische Form q(x), die zu A gehört. Wir sollen beurteilen, ob die gegebene quadratische Form tatsächlich zu der Matrix A gehört.

Die gegebene Matrix und die quadratische Form

Die gegebene Matrix ist:

A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right)

Und die quadratische Form q(x) ist:

q(x)=x^{\prime} A x

wobei $x^{\prime}$ die Transponierte von x ist.

Die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form

Um zu beurteilen, ob die gegebene quadratische Form tatsächlich zu der Matrix A gehört, müssen wir die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form verstehen. Die quadratische Form q(x) kann wie folgt geschrieben werden:

q(x)=x_{1}^{2}(-4)+x_{2}^{2}(1)+x_{3}^{2}(1)+2x_{1}x_{2}(2)+2x_{1}x_{3}(-2)+2x_{2}x_{3}(3)

wobei $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ die Komponenten von x sind.

Die Matrix als Summe von Skalarprodukten

Die Matrix A kann als Summe von Skalarprodukten geschrieben werden:

A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)

Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört.

Die Beziehung zwischen den Skalarprodukten und der quadratischen Form

Die quadratische Form q(x) kann als Summe der quadratischen Formen geschrieben werden, die zu den Skalarprodukten gehören:

q(x)=(-4)x_{1}^{2}+(1)x_{2}^{2}+(1)x_{3}^{2}+(2)x_{1}x_{2}+(-2)x_{1}x_{3}+(3)x_{2}x_{3}

Dies zeigt, dass die quadratische Form q(x) tatsächlich zu der Matrix A gehört.

Fazit

In diesem Artikel haben wir gezeigt, dass die gegebene quadratische Form q(x) tatsächlich zu der Matrix A gehört. Wir haben die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form verstanden und die Matrix als Summe von Skalarprodukten geschrieben. Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört. Dies zeigt, dass die quadratische Form q(x) tatsächlich zu der Matrix A gehört.

Literatur

Hilbert, D. (1993). Grundzüge der Theoretischen Logik. Springer-Verlag.
Lang, S. (2012). Linear Algebra. Springer-Verlag.
Strang, G. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Cengage Learning.

Anmerkungen

Die gegebene Matrix A ist eine 3x3-Matrix.
Die quadratische Form q(x) ist eine quadratische Gleichung, die zu der Matrix A gehört.
Die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form wird durch die Skalarprodukte dargestellt.
Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört.

Einleitung

In unserem letzten Artikel haben wir gezeigt, dass die gegebene quadratische Form q(x) tatsächlich zu der Matrix A gehört. In diesem Artikel werden wir einige häufig gestellte Fragen (FAQs) zu diesem Thema beantworten.

Q: Was ist eine quadratische Form?

A: Eine quadratische Form ist eine Funktion, die eine quadratische Gleichung darstellt. Sie kann wie folgt geschrieben werden:

q(x)=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}

wobei $x_{1}$ , $x_{2}$ , ..., $x_{n}$ die Komponenten von x sind und $a_{11}$ , $a_{22}$ , ..., $a_{nn}$ die Koeffizienten der quadratischen Form sind.

Q: Was ist die Beziehung zwischen einer quadratischen Form und ihrer zugehörigen Matrix?

A: Die Beziehung zwischen einer quadratischen Form und ihrer zugehörigen Matrix wird durch die Skalarprodukte dargestellt. Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört.

Q: Wie kann ich die Matrix als Summe von Skalarprodukten schreiben?

A: Die Matrix kann als Summe von Skalarprodukten geschrieben werden, indem man die Koeffizienten der quadratischen Form mit den entsprechenden Skalarprodukten multipliziert. Zum Beispiel:

A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)

Q: Warum ist es wichtig, die Matrix als Summe von Skalarprodukten zu schreiben?

A: Es ist wichtig, die Matrix als Summe von Skalarprodukten zu schreiben, weil dies die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form verdeutlicht. Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört.

Q: Wie kann ich die quadratische Form als Summe der quadratischen Formen schreiben, die zu den Skalarprodukten gehören?

A: Die quadratische Form kann als Summe der quadratischen Formen geschrieben werden, die zu den Skalarprodukten gehören, indem man die Koeffizienten der quadratischen Form mit den entsprechenden Skalarprodukten multipliziert. Zum Beispiel:

q(x)=(-4)x_{1}^{2}+(1)x_{2}^{2}+(1)x_{3}^{2}+(2)x_{1}x_{2}+(-2)x_{1}x_{3}+(3)x_{2}x_{3}

Fazit

In diesem Artikel haben wir einige häufig gestellte Fragen (FAQs) zu der Beziehung zwischen einer quadratischen Form und ihrer zugehörigen Matrix beantwortet. Wir haben gezeigt, dass die Matrix als Summe von Skalarprodukten geschrieben werden kann und dass die quadratische Form als Summe der quadratischen Formen geschrieben werden kann, die zu den Skalarprodukten gehören.

Literatur

Hilbert, D. (1993). Grundzüge der Theoretischen Logik. Springer-Verlag.
Lang, S. (2012). Linear Algebra. Springer-Verlag.
Strang, G. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Cengage Learning.

Anmerkungen

Die gegebene Matrix A ist eine 3x3-Matrix.
Die quadratische Form q(x) ist eine quadratische Gleichung, die zu der Matrix A gehört.
Die Beziehung zwischen der Matrix und der quadratischen Form wird durch die Skalarprodukte dargestellt.
Jedes Skalarprodukt stellt eine quadratische Form dar, die zu der entsprechenden Matrix gehört.